みなさん，こんにちは．
おかしょです．
みなさんは伝達関数という言葉を聞いたことがあるでしょうか．
伝達関数は制御工学でよく使われる専門用語になります．
この記事を読んでいる方の多くは，制御工学を学び始めたばかりの入門者だと思うので，そのような方でも理解できるように基礎から解説していきます．
この記事を読むと以下のようなことがわかる・できるようになります．
- 伝達関数とは
- 伝達関数の求め方
この記事を読む前に
この記事では伝達関数の例としてマス・スプリング・ダンパーシステムを使用しています．
このシステムの運動方程式の導出方法がわからない方は以下の記事を先に読んでおくことをおすすめします．
伝達関数とは
まずは伝達関数とは何なのかを説明していきます．
伝達関数とは簡単に言うと，システムの入出力の関係を表す数式のことを言います．
これだけだと分かりづらいと思うので，例を使って説明します．
例えば，モーターを回転させたいとします．
このときの制御目標はモーターをある角速度で回転させることだとします．
まず，モーターを回転させるには電圧を与える必要があります．
さらに，目的の角速度にするには適切な電圧をかけなければなりません．
モーターが実際に回転し，目的の角速度になっているのかもチェックする必要があります．
そのためにロータリーエンコーダーのような角速度を測定できるセンサーを搭載する必要があります．
このとき，モーターをシステムとすると
電圧は入力，モーターの角速度が出力ということになります．
つまり，この時の電圧とモーターの角速度の関係式が伝達関数です．
ここまでの説明で，伝達関数がどんなものなのかがなんとなくわかったかと思います．
では，この伝達関数は何のために求める必要があるのでしょうか．
伝達関数をなぜ求めるのか
上でも述べたように，伝達関数はシステムの入出力関係を表しています．
そのため，伝達関数がわかれば，どのような入力を加えたらシステムがどのように動作するのかが予測できるようになります．
つまり，シミュレーションを行うことができるようになります．
シミュレーションを行うことができれば，あらかじめ入力を決めて数値シミュレーションで確認ができるので，間違った入力をしてしまってシステムを壊すことがなくなります．
さらに，伝達関数を基にして制御器（コントローラー）の設計もできます．
他にも，周波数特性を調べたりもできるので，外乱に対してどのような特性を持つのかをあらかじめ知ることができます．
これらのことを知ることは制御工学において非常に重要です．
そのため，システムの伝達関数を求めることは絶対に必要な工程です．
では，伝達関数を求めるにはどうすれば良いのでしょうか．
伝達関数の求め方
先程，伝達関数を求めることで数値シミュレーションができるようになると言いましたが，数値シミュレーションは運動方程式を求めて行うこともできます．
つまり，運動方程式を式変形すれば伝達関数になります．
そのため，運動方程式を求めることができれば，伝達関数も求められます．
以下では簡単な例として，mass spring dumperシステムを用います．
このシステムは台車に，壁に取り付けられたばねとダンパーがくっついているシステムになります．
このシステムの運動方程式は以下のようになります．
$$ m\ddot{x}=-kx-c\dot{x}+u $$
ここで，\(m\)は質量，\(k\)はばね係数，\(c\)はダンパー係数，\(x\)は台車の変位，\(u\)は入力を表しています．
この式をラプラス変換すると以下のようになります．ラプラス変換する方法についてはこちらを参照してください．
$$ mXs^{2}=-kX-cXs+U $$
ここで，すべての初期値は0として，\(x\)のラプラス変換は\(X\)，\(u\)のラプラス変換は\(U\)としています．
これで，伝達関数を求める準備ができました．
伝達関数とは入出力関係を表す式だということはすでに述べました．
今回の例で言うと，\(X\)が出力で\(U\)が入力になります．
なので，伝達関数\(G\)は以下のように求められます．
\begin{eqnarray} G&=& \frac{出力}{入力}\\ &=& \frac{X}{U}= \frac{1}{ms^{2}+cs+k} \end{eqnarray}
以上のようにして伝達関数を求めることができます．
まとめ
この記事では伝達関数を求める方法について解説しました．
最後にまとめると，伝達関数とは入出力関係を表す数式のことで，運動方程式から導出ができます．
伝達関数は制御工学において非常に重要なものなので，制御工学をこれから学んでいこうと考えている方は必ず導出できるようになっておく必要があります．
続けて読む
伝達関数を使用すれば，そのシステムの解析ができるようになります．
以下の記事ではその解析の方法を解説しています．興味のある方は読んでみてください．
Twitterでは記事の更新情報や活動の進捗などをつぶやいているので気が向いたらフォローしてください．
それでは最後まで読んでいただきありがとうございました．
コメント
[…] の伝達関数は運動方程式をラプラス変換することによって求められました．伝達関数の求め方を知りたい方は，以下の記事を参考にしてください．伝達関数とは・導出方法まで詳しく解説 […]