みなさん，こんにちは．
おかしょです．
この記事では，ゲイン線図の書き方や見かたなどを解説しています．
ボード線図は大学の授業や大学院の試験にも出るほど重要なことなのでできるだけ詳細に解説していきたいと思います．
この記事を読むと以下のようなことがわかる・できるようになります．
- ゲイン線図とは
- ゲイン線図の書き方
- ゲイン線図の読み方
この記事を読む前に
この記事では伝達関数を基にしてゲイン線図を書いて，解説していきます．
そのため，伝達関数とはどのようなものか知らないと説明についていけなくなるかもしれません．
伝達関数については以下の記事で解説しているので，そちらを先に読んでおくことをおすすめします．
ゲイン線図とは
ボード線図とはゲイン線図と位相線図を合わせたものを言います．
システムの特性を解析したい場合は，ゲイン線図と位相線図の両方を確認する必要があります．
中でもゲイン線図はシステムが入力に対して，どのような振幅で出力するのかを表します．
ゲイン線図は横軸に周波数，縦軸にゲインをもつ片対数グラフで表されます．
ゲイン線図を見ることで，システムが外乱に対してどのような感度で応答するのかや，入力に対してどのような応答をするのかがわかります．
このように，ゲイン線図を見ることでシステムの特性がわかるので，これを基にして設計する制御器もあります．
以上のように言葉で説明されてもわかりずらいと思うので，以下では実際に書きながら理解を深めていきます．
ゲイン線図の書き方
制御工学を学び始めると，最初に伝達関数を求めると思います．
伝達関数はs平面上と呼ばれる複素領域で定義されており，極の位置や零点の位置からシステムの特性を知ることができます．
この伝達関数は運動方程式をラプラス変換することによって求められました．
ボード線図は周波数領域で定義されます．
そのため，複素領域で表現される伝達関数から直接ボード線図を求めることはできません．
ボード線図を求めるには，フーリエ変換というものをしなければなりません．
このフーリエ変換は複素領域の伝達関数が求められていれば，非常に簡単に行うことができます．
例えば，以下のような伝達関数で表現されるシステム\(G(s)\)があったとします．
$$ G(s)=\frac{K}{Ts+1} $$
このような伝達関数の形を一次遅れ系というのですが，これをフーリエ変換するには\(s=j\omega\)とすればOKです．
このとき，\(j\)は虚数を表していて，\(\omega\)は周波数を表します．
先程の伝達関数をフーリエ変換すると，以下のようになります．
$$ G(j\omega)=\frac{K}{1+jT\omega} $$
分母に虚数があるのはあまりよくないので有理化をします．
\begin{eqnarray} G(j\omega) &=& \frac{K}{1+jT\omega} \cdot \frac{1-jT\omega}{1-jT\omega}\\ &=& \frac{K(1-jT\omega)}{1+T^{2}\omega^{2}}\\ &=&\frac{K}{1+T^{2}\omega^{2}}-j\frac{KT\omega}{1+T^{2}\omega^{2}} \end{eqnarray}
以上のように，実数部と虚数部に分けることができました．
さて，ここから本題に入ります．
このシステムのゲインを求めます．
ゲイン\(|G(j\omega)|\)は以下の式によって求められます．
$$ |G(j\omega)|=\sqrt{R(j\omega)^{2}+I(j\omega)^{2}} $$
ここで，R(j\omega)は先ほど求めた，フーリエ変換された伝達関数\(G(j\omega)\)の実数部，I(j\omega)は虚数部を表しています．
従って，先程の伝達関数のゲインは
\begin{eqnarray}|G(j\omega)|&=&\sqrt{R(j\omega)^{2}+I(j\omega)^{2}}\\ &=&\sqrt{\left(\frac{K}{1+T^{2}\omega^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{KT\omega}{1+T^{2}\omega^{2}}\right)^{2}}\\ &=& \frac{K\sqrt{1+T^{2}\omega^{2}}}{1+T^{2}\omega^{2}} \end{eqnarray}
となります．
これを横軸が周波数，縦軸がゲインの片対数グラフに描画すれば，ゲイン線図の完成となります．
ここでは，例として\(K\)も\(T\)も1として，ゲイン線図を書いてみます．
\(K=T=1\)とすると，伝達関数のゲイン\(|G(j\omega)|\)は以下のようになります．
$$ |G(j\omega)|=\frac{\sqrt{1+\omega^{2}}}{1+\omega^{2}}=(1+\omega^{2})^{-\frac{1}{2}} $$
上記では伝達関数のゲインを求めたのですが，ボード線図で表すには対数ゲインと呼ばれる\(20\log_{10}|G(j\omega)|\)を縦軸にとります．単位はdB(デシベル)です．
従って，対数ゲインは以下のようになります．
\begin{eqnarray} 20\log_{10}|G(j\omega)|&=&20\log_{10}(1+\omega^{2})^{-\frac{1}{2}}\\ &=&20\left(-\frac{1}{2}\right)\log_{10}(1+\omega^{2})\\ &=&-10\log_{10}(1+\omega^{2}) \end{eqnarray}
ここで，\(\omega\)が十分に小さい時を考えます．
このようなときは\(\omega\)は無視して，対数ゲインは以下のように近似できます．
\begin{eqnarray} 20\log_{10}|G(j\omega)|&=&-10\log_{10}(1+\omega^{2})\\ &=&-10\log_{10}(1)\\ &=&0 \end{eqnarray}
また，\(\omega\)が十分に大きい時は，対数ゲインは以下のように近似できます．
\begin{eqnarray} 20\log_{10}|G(j\omega)|&=&-10\log_{10}(1+\omega^{2})\\ &=&-10\log_{10}(\omega^{2})\\ &=&-20\log_{10}(\omega) \end{eqnarray}
つまり，片対数グラフに書く場合は-20の傾きで直線近似ができるということになります．
ゲイン線図を書くための情報として，ここまで得られたものをまとめます．
- \(\omega\)が十分に小さい周波数では0dB
- \(\omega\)が十分に大きい周波数では-20の傾きの直線
あとは，0dBから傾きが-20に変わる変曲点を求めることができれば，ゲイン線図が描けます．ちなみに，この変曲点のことを接点周波数と呼びます．
さて，この接点周波数では-20の傾きを持つ直線と0dBの直線が交わる周波数であるから，以下のようにして求められます．
\begin{eqnarray} -20\log_{10}(\omega)&=&0\\ \omega&=&1 \end{eqnarray}
以上のことから，ゲイン線図は\(\omega\)が十分小さい時は0dBとなり，\(\omega\)が1dBを超えると傾きが-20の直線に近似できることがわかりました．
これを片対数グラフに描画すると，以下のようになります．
この図で青い線は先ほど計算によって求めた近似したゲイン線図です．
オレンジ色の線は近似をせずに描いたボード線図になります．
この図を見ると，青い線は近似をしているため接点周波数付近は実際のゲイン線図と誤差があります．
しかし，周波数が十分に大きい領域，もしくは十分小さい領域では一致していることがわかります．
このことから，近似したゲイン線図でもシステムの特性を十分に知ることができると言えます．
ゲイン線図からわかること
ゲイン線図の書き方がわかったところで，次にゲイン線図の見方を説明します．
上の図を見ながら解説していきます．
まず，低周波数領域のゲイン線図を見ると，0dBとなっています．
このことから，低周波数の入力がシステムに加わると，振幅は入力と同様の値を示すことがわかります．
反対に高周波数領域を見ると，高周波であればあるほどゲインが小さくなっています．
つまり，高周波数の入力が加わると振幅は小さくなり，入力が非常に大きな周波数の場合はシステムは応答しなくなることがわかります．
ここで，低周波数の入力ってどんな入力？
もしくは，高周波数の入力ってどんな入力？
と，疑問に思う方もいるかと思うので，実際の問題から考えていきます．
まず，低周波数の入力というのは，例えば風が考えられます．
よく風外乱は低周波数の入力として取り上げられ，航空機にとっては大きな問題となります．
そのため，低周波数のゲインはできるだけ小さくなるように制御器を設計したりします．
上のようなゲイン線図で表されるシステムの場合は，風外乱の影響をもろに受けてしまう事になります．
次に，高周波数の入力ですが，これはセンサーノイズやシステムノイズが考えられます．
センサーノイズとは，センサーによって得られるデータに誤差が生じることを言います．
このノイズは非常に高周波で，制御をする場合はセンサーのデータを用いるため，このセンサーノイズの影響をシステムは受けてしまいます．
このようなときは，高周波数のゲインが低くなるように制御器を設計します．
上のゲイン線図から，高周波数のゲインは低くなっているので，センサーノイズの影響をあまり受けないと言えます．
まとめ
この記事ではゲイン線図の書き方について解説しました．
ゲイン線図の書き方から，見方まで理解できたでしょうか．
最後にもう一度，ゲイン線図の書き方のまとめをします．
- 伝達関数をフーリエ変換する．
- 対数ゲイン求める．
- 低周波数の時のゲインを近似する．
- 周波数の時のゲインを近似する．
- 折点周波数を求める．
このような順序でゲイン線図を描いていきました．
今回例で挙げたような一次遅れ系の場合は，比較的簡単にゲイン線図が掛けるのですが
伝達関数がもっと複雑な多項式で表される場合は，ゲイン線図を手計算で描いていくのは困難になってきます．
そのようなときは，数値計算ソフトの力も借りてみることをお勧めします．
数値計算ソフトでゲイン線図を書いてから，今回解説したゲイン線図の見方で特性を理解すれば制御工学を学んでいくうえでは問題ないと思います．
続けて読む
ボード線図には上記のようなゲイン線図の他に位相線図というものがあります．
この詩王線図も非常に重要で，以下の記事で解説しているので読んでみてください．
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それでは最後まで読んでいただきありがとうございました．
コメント
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