ベクトル軌跡とは，書き方などを例題を用いて解説

みなさん，こんにちは
おかしょです．

古典制御工学ではシステムの応答を周波数領域で解析します．

解析する方法はさまざまありますが，この記事ではベクトル軌跡について解説していきます．

この記事を読むと以下のようなことがわかる・できるようになります．

ベクトル軌跡とは何か
ベクトル軌跡の書き方

この記事を読む前に
ベクトル軌跡とは
ベクトル軌跡の書き方
1. ゲインの求め方
2. 位相の求め方
ベクトル軌跡の練習
1. 1次遅れ系
2. 2次遅れ系
まとめ
続けて読む
1. 共有:
2. 関連

この記事を読む前に

ベクトル軌跡の解説では伝達関数を使用します．

伝達関数がよくわからない方は以下の記事を先に読んでおくことをおすすめします．

ベクトル軌跡とは

ベクトル軌跡とは，古典制御工学におけるシステムの周波数解析法の一種です．

他の周波数解析法にはボード線図やナイキスト線図などがあります．

このベクトル軌跡では，伝達関数からゲインと位相を求めます．

ゲインというのは伝達関数の大きさのことで，位相というのは入力に対して出力がどれだけ遅れるのかを表します．

ベクトル軌跡ではゲインは原点からの距離，位相はベクトルの角度として表現されます．

ボード線図はゲイン線図と位相線図の二つを見なければシステムの解析ができませんでしたが，ベクトル軌跡では一つの図だけでシステムの解析が行えます．

ベクトル軌跡の書き方

伝達関数が与えられていてベクトル軌跡を描くには，以下の手順をこなす必要があります．

伝達関数を$s=j\omega$とする
システムのゲインを求める
システムの位相を求める
$\omega=0$の時のプロットをする
$\omega=\infty$の時のプロットをする
$\omega=0~\infty$の時のプロットをする

ゲインの求め方

上に示した手順2のゲインの求め方について説明します．

ゲインというのは伝達関数G(s)の大きさのことだと述べました．

手順1で$s=j\omega$として得られた伝達関数$G(j\omega)$の大きさを求めるには以下のような計算をします．

\begin{eqnarray}
ゲイン&=& |G(j\omega)|\\
&=& \sqrt{R^{2}(j\omega) +I^{2}(j\omega)}
\end{eqnarray}

ここで，$R(j\omega)$は伝達関数$G(j\omega)$の実部，$I(j\omega)$は虚部を表しています．

位相の求め方

手順3で求める位相を求めるには以下のような計算をします．

\begin{eqnarray}
位相&=& \angle G(j\omega)\\
&=& \tan^{-1} \frac{I(j\omega}{R(j\omega)}
\end{eqnarray}

それほど難しい計算は必要ないので，ゲインも位相も簡単に求めることができます．

ベクトル軌跡の練習

ここからはベクトル軌跡の書き方を具体的な例を用いて解説します．

1次遅れ系

以下のような1次遅れ系の伝達関数が与えられていたとします．

$$ G(s) = \frac{K}{Ts+1} $$

今回は$T=1,\ K=1$とした時のベクトル軌跡を描きます．

まずは$s=j\omega$を代入します．

\begin{eqnarray}
G(j\omega) &=& \frac{1}{j\omega+1}\\
&=& \frac{1-j\omega}{1+\omega^2}
\end{eqnarray}

次にゲインと位相を求めます．

\begin{eqnarray}
|G(j\omega)| &=& \sqrt{\left(\frac{1}{1+\omega^2}\right)^2+\left(\frac{-\omega}{1+\omega^2}\right)^2}\\
&=& \frac{\sqrt{1+\omega^2}}{1+\omega^2}\\
&=& \frac{1}{\sqrt{1+\omega^2}}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\angle G(j\omega) &=& \tan^{-1} \frac{\frac{-\omega}{1+\omega^2}}{\frac{1}{1+\omega^2}}\\
&=& \tan^{-1} (-\omega)\\
&=& -\tan^{-1} \omega\\
\end{eqnarray}

ゲインと位相を求めることができたら，$\omega$にいろいろな値を代入して図形に書き込んでいきます．

まずは$\omega=0$の時のゲインと位相を求めます．

$$ |G(0)| = 1 $$

$$ \angle G(0) = 0 $$

以上のようになるので，原点からの距離が1，角度が0のところにプロットをすると左のようになります．

同じように$\omega=\infty$の時のゲインと位相を求めます．

$$ |G(0)| = 0 $$

$$ \angle G(0) = -90 $$

以上のようになるので，先程の図に書き加えると左のようになります．

このようにして$\omega$の値を変化させていき図に書き込んでいくと，以下のようなベクトル軌跡が得られます．

2次遅れ系

次は以下のような2次遅れ系の伝達関数のベクトル軌跡を描きます．

$$ G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta \omega_n s+\omega_n^2} $$

ここでは$\zeta=\frac{1}{2},\ \omega_n = 1$とします．

1次遅れ系の時と同様に$s=j\omega$を代入します．

\begin{eqnarray}
G(j\omega) &=& \frac{1}{-\omega^2+j\omega+1}\\
&=& \frac{1-\omega^2-j\omega}{(1-\omega^2)^2+\omega^2}
\end{eqnarray}

ゲインと位相を求めます．

\begin{eqnarray}
|G(j\omega)| &=& \sqrt{\left(\frac{1-\omega^2}{(1-\omega^2)^2+\omega^2}\right)^2+\left(\frac{-\omega}{(1-\omega^2)^2+\omega^2}\right)^2}\\
&=& \frac{\sqrt{(1-\omega^2)^2+\omega^2}}{(1-\omega^2)^2+\omega^2}\\
&=& \frac{1}{\sqrt{(1-\omega^2)^2+\omega^2}}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\angle G(j\omega) &=& \tan^{-1} \frac{\frac{-\omega}{(1-\omega^2)^2+\omega^2}}{\frac{1-\omega^2}{(1-\omega^2)^2+\omega^2}}\\
&=& \tan^{-1} \frac{-\omega}{1-\omega^2}\\
\end{eqnarray}

1次遅れ系と同じ手順でベクトル軌跡を描いていくと以下のようになります．