P制御とは・プログラムの書き方や特徴

みなさん，こんにちは
おかしょです．

私は制御工学を専攻していて，これまでに様々な制御器を学習してきました．
中でも一番最初に学習した制御器はP制御でした．

P制御から発展した制御器としてPID制御がありますが，この制御器は理論が単純で実機に実装しやすいことから，実際の現場で最もよく使われる制御器と言われています．

このブログではP制御から始まり，PID制御の特徴やPID制御器の応用などの解説をしていきます．

この記事ではその第一歩のP制御の特徴やゲインの調整方法などを解説していきます．

この記事を読むと以下のようなことがわかる・できるようになります．

P制御とは
P制御のプログラムの書き方
P制御の特徴

この記事を読む前に
P制御とは
プログラム
P制御の特徴
まとめ
続けて読む
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この記事を読む前に

この記事ではP制御の特徴を解説するために制御工学の基礎的な知識を使用します．

中でもボード線図や最終値の定理などの知識があるとこの記事の理解がしやすいと思うので，以下の記事を先に読んでおくことをおすすめします．

P制御とは

今回解説するP制御の「P」とは「Proportion」の略で「比例」という意味になります．

P制御器の構成は非常に単純で
ある状態量の目標値とセンサーなどから取得した値の差をとり，その誤差に対してゲインをかけたものを入力としてシステムに印加します．

ブロック線図では以下のようになります．

このゲインは自由に決定することができて，この値によって制御性能が変化します．

プログラム

プログラムの書き方は非常に単純です．

制御対象に印加する入力を$u$，ゲインを$K$と置くとP制御によって生成される入力$u$は以下のようになります．

$$ u=(r-y)\cdot K $$

P制御の特徴

次に，P制御をすることによってどのような応答になるのかを解説します．
言葉を並べただけでは理解しにくいと思うので，数値シミュレーションの結果を見ながら解説していきます．

例えば，以下のような1次遅れ系で表されるシステムに対してP制御器を適用したとします．

$$ G(s)=\frac{1}{s+1} $$

1次遅れ系のシステムと言われてもイメージしにくいと思います．

ここでは電圧に対するモーターの回転数がよく1次遅れ系で表現されるので，それをイメージしてもらえればいいと思います．

目標値$r$を1として，ゲインを様々な値に変化させた結果，以下のようになりました．

図を見ると，ゲインの大きさが大きければ大きいほど早く応答していることがわかります．

しかし目標値を1にしているにもかかわらず，ゲインを100にしたとき以外は1に収束していません．
このように収束しても残っている誤差のことを定常偏差と言います．

極の位置を確認

制御器の性能の評価をするうえで最も重要となるのが，安定性についてです．
安定性は伝達関数を求めて，そのすべての極の位置が複素平面の左半平面にあれば安定と言えます．

先程，例として挙げた伝達関数の極位置を求めると$s=-1$となるため，このシステムは安定であると言えます．
つまり，制御器を搭載しなくても安定なシステムです．
このようなシステムにP制御を適用すると，極の位置はどのように変化するでしょうか．

先程，ブロック線図で示したP制御の伝達関数を求めると以下のようになります．

$$ \frac{Y}{R}=\frac{K}{s+1+K} $$

このとき目標値のラプラス変換を$R$，出力のラプラス変換を$Y$としています．

極の位置は$s=-1-K$です．
つまり，$K$の値が-1よりも大きければシステムを安定化させることができます．
また，複素平面の原点から極が遠ければ遠いほど即応性が良くなるため，Kの値が大きければ大きいほど即応性が良くなります．
このことは数値シミュレーションの結果を見ても明らかです．

最終値の定理で確認

P制御ではこの定常偏差が必ず残ってしまいます．
このことは最終値の定理を使えば確認できます．

目標値は1としていてステップ関数なので，最終値の定理を使うと以下のようになります．

\begin{eqnarray}
y(\infty)&=&\displaystyle \lim_{s \to 0} s\cdot F(s)\\
&=&\displaystyle \lim_{s \to 0} s\cdot \frac{K}{s+1+K}\cdot \frac{1}{s}\\
&=& \frac{K}{1+K}
\end{eqnarray}

この$K$の値が小さければ小さいほど，出力は0に収束していきます．
反対に大きければ大きいほど，分母の1は無視されるので$K/K$となり1に収束します．

先程の数値シミュレーションの結果を見ても，最終値の定理の通りの結果になっていることがわかります．

ボード線図から確認

次に，P制御の特徴をボード線図を使って確認します．

まずは，制御器を適用していないシステムそのもののボード線図を確認します．

このボード線図の書き方について知りたい方は，以下の記事を参考にしてください．
ゲイン線図の書き方
 位相線図の書き方

これにP制御を適用するとボード線図は以下のようになります．

まず，上のゲイン線図を見ます．
ゲインが1以下の時は低周波数帯でもゲインが下がっていることがわかります．
反対に1より大きい時は高周波数のものまで拾うようになっています．
このことから，ゲインを大きくすると高周波数の入力（ノイズのようなもの）に対して反応するようになり，小さくすると高周波数の入力には反応が鈍くなり，低周波数の入力にも反応しにくくなるという特徴が読み取れます．

次に，下の位相線図を見てみます．
こちらはゲインを大きくするほど高周波数の入力まで位相が送れなくなることがわかります．
つまり，入力が激しく切り替わったとしてもゲインが十分大きければ遅れることなく対応できると言えます．

以上のことを簡単にまとめると，P制御の場合はゲインを大きくすると良いこともあるけど，ノイズに対しても過敏に反応するようになるということです．

まとめ

P制御の特徴をまとめると以下のようになります．

ゲインを大きくすれば定常偏差を小さくできて，即応性も向上するがノイズに対しても過敏に反応してしまう．
ゲインが小さいとノイズに対してだけでなく入力に対しても反応が鈍くなる．さらに定常偏差も残ってしまう．

ゲインは大きい方が良いけどデメリットもあるということがわかっていればいいと思います．

この記事ではP制御の特徴をいろいろな方面から解説しました．

P制御ではゲインをさらに大きくすると，以下のようなシミュレーション結果になります．

このようにゲインを大きくしすぎると目標値を通り越してしまいます．

続けて読む

以下の記事では今回のP制御に加えてD制御について解説しています．

いきなりPID制御について学習しようとしてもよくわからないと思うので，順番に次はPD制御を学習すると良いと思うので，参考にしてください．

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それでは最後まで読んでいただきありがとうございました．