みなさん，こんにちは
おかしょです．
古典制御工学ではシステムを周波数領域で解析します．
そのため，参考書ではシステムを伝達関数で表現して解説をしています．
しかし，伝達関数だけではシステムがどのようなものなのかイメージがしにくいです．
そこで，伝達関数を逆ラプラス変換して時間領域の微分方程式にすることがあります．
数値シミュレーションをする場合は伝達関数ではなく微分方程式を利用するので，この逆ラプラス変換は利用しない手はありません．
この記事ではその逆ラプラス変換について解説します．
この記事を読むと以下のようなことがわかる・できるようになります．
- 逆ラプラス変換のやりかた
- いろいろな関数の逆ラプラス変換
この記事を読む前に
この記事では逆ラプラス変換について解説します．
通常のラプラス変換について知りたい方は以下の記事を参考にしてください．
逆ラプラス変換をする方法
伝達関数などの周波数領域で表された関数を逆ラプラス変換する計算方法はあります．
ラプラス変換と同じように逆ラプラス変換をする公式というものが存在するのですが，手計算では難しいです．
なので，逆ラプラス変換については暗記するのが一般的です．
その証拠に制御工学の参考書には逆ラプラス変換の公式は載っていないですが，逆ラプラス変換の表が載っていることが多いです．
逆ラプラス変換の公式が知りたい方は以下の記事で紹介している参考書に載っているので，気になる方は読んでみてください．以下の参考書は逆ラプラス変換についてだけでなく，制御工学の基礎を非常にわかりやすく解説しているのでおすすめです．
いろいろな関数の逆ラプラス変換
以下ではいろいろな関数の逆ラプラス変換を行っています．
知りたい関数の逆ラプラス変換には目次から跳べるようになっています．
ステップ関数（\(\frac{a}{s}\)）
$$ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{a}{s}\right] = a $$
導出についてはこちらを参照してください．
ランプ関数（\(\frac{a}{s^2}\)）
$$ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{a}{s^2}\right] = at $$
導出についてはこちらを参照してください．
指数関数（\(\frac{a}{s+b}\)）
$$ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{a}{s+b}\right] = ae^{-bt} $$
導出についてはこちらを参照してください．
正弦・sin関数（\(\frac{a}{s^2+a^2}\)）
$$ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{a}{s^2+a^2}\right] =\sin at $$
導出についてはこちらを参照してください．
余弦・cos関数（\(\frac{s}{s^2+a^2}\)）
$$ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2+a^2}\right] =\cos at $$
導出についてはこちらを参照してください．
まとめ
この記事では逆ラプラス変換をする方法について解説しました．
結論としてはラプラス変換をする公式はありますが，計算が難しいので暗記をする必要があります．
ある程度の関数はこの記事で紹介している逆ラプラス変換の例を応用すれば逆ラプラス変換をすることができます．
続けて読む
この記事で解説したラプラス変換を応用すれば微分方程式を解くこともできます．
以下の記事ではラプラス変換を利用した微分方程式の解法について解説しているので，参考にしてください．
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それでは最後まで読んでいただきありがとうございました．
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