みなさん，こんにちは
おかしょです．
3次遅れ系というシステムは古典制御工学の学習をしていてもあまり扱われることのないシステムです．ただ，制御系の論文を見ると意外と使われていることがあります．これは２次遅れ系よりもさらに複雑で，相対次数の違いによる制御器の性能の評価も行えるという特徴があるためです．
なので，この記事では論文で意外と利用されている３次遅れ系の伝達関数を数値シミュレーションするために必要な，時間領域への変換方法を解説します．
この記事を読むと以下のようなことがわかる・できるようになります．
- 伝達関数を時間領域に変換する方法
- ３次遅れ系の時間領域表示
この記事を読む前に
３次遅れ系のシステムはあまり扱われることはありません．それよりも２次遅れ系の方がよく利用されます．
２次遅れ系についてまだ学習していない方は，以下の記事で解説していますので参考にしてください．
3次遅れ系の伝達関数
3次遅れ系の伝達関数は以下のような形をしています．
\begin{eqnarray}
G(s)&=&\frac{b_2 s^2+b_1 s+b_0}{s^3 +a_2 s^2+a_1 s+a_0}\tag{1}
\end{eqnarray}
これを数値シミュレーションするには，MATLABであれば，SimulinkでTransfer fcnブロックを用いることで簡単にできます．しかし，この場合は初期値は０としてシミュレーションを行うことになってしまいます．
伝達関数というのは初期値が０の時のシステムの入出力の比を表すので，これは仕方がないことです．
初期値を考慮するためには，上の伝達関数を逆ラプラス変換する必要があります．
時間領域への変換
式(1)で表される伝達関数を時間領域に変換します．まず，式(1)を整理すると以下のようになります．
\begin{eqnarray}
\frac{Y(s)}{U(s)}&=&\frac{b_2 s^2+b_1 s+b_0}{s^3 +a_2 s^2+a_1 s+a_0}\\
Y(s^3 +a_2 s^2+a_1 s+a_0)&=&( b_2 s^2+b_1 s+b_0) U\tag{2}
\end{eqnarray}
これを逆ラプラス変換すると以下のようになります．
\begin{eqnarray}
\dddot{y}+a_2 \ddot{y}+a_1 \dot{y}+a_0 y&=& b_2 \ddot{u}+b_1 \dot{u}+b_0 u\\
\dddot{y}&=&-a_2 \ddot{y}-a_1 \dot{y}-a_0 y+ b_2 \ddot{u}+b_1 \dot{u}+b_0 u \tag{3}
\end{eqnarray}
上式が3次遅れ系を時間領域で表した場合の式です．
３次遅れ系の行列表示
シミュレーションがしやすいように式(3)を行列で表すと以下のようになります．
\begin{eqnarray}
\frac{d}{dt} \begin{bmatrix}
\ddot{y}\\ \dot{y}\\ y
\end{bmatrix}&=&
\begin{bmatrix}
-a_2 & -a_1 & -a_0\\
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\ddot{y}\\ \dot{y}\\ y
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
b_2 & b_1 & b_0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\ddot{u}\\ \dot{u}\\ u
\end{bmatrix} \tag{4}
\end{eqnarray}
まとめ
この記事では３次遅れ系の伝達関数で表されるシステムを時間領域に変換する方法を解説しました．このように時間領域に変換することで，伝達関数では考慮することのできない初期値を数値シミュレーションで考慮できるようになります．
続けて読む
この記事で求めた時間領域の式を用いることで数値シミュレーションをすることができます．以下の記事ではさらにPID制御器を搭載したシミュレーションのやり方を解説しています．気になる方は続けて読んでください．
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