みなさん、こんにちは
おかしょです。
モーターなどの伝達関数はよく一次遅れ系で表されます。
しかし、数値シミュレーションをする場合はラプラス変換された伝達関数表現ではできません。
そこで、この記事では一次遅れ系の伝達関数を逆ラプラス変換する方法、ついでに求められた微分方程式の解法も解説します。
この記事を読むと以下のようなことがわかる・できるようになります．
- 伝達関数を逆ラプラス変換する方法
- 1次遅れ系の伝達関数の逆ラプラス変換
- 微分方程式の解き方
この記事を読む前に
この記事では微分方程式の解き方も解説しますが，微分方程式の解き方は以下の記事の方が詳細に解説しているので，そちらを先に読んだ方が理解しやすいと思います．
一次遅れ系の伝達関数
まず、一次遅れ系の伝達関数がどのような形をしているのかを説明します。
一次遅れ系の伝達関数は以下のような形をしています。
$$ G(s)=\frac{K}{Ts+1} $$
式中のKやTはシステムによってさまざまで、Kを定常ゲイン、Tを時定数と呼びます。
このシステムの初期値を1として，入力を何も加えなかった場合の応答を以下に示します。
なめらかに0へと収束していきます。
このように、一次遅れ系のシステムは単純な応答を示します。
一次遅れ系の逆ラプラス変換
それでは、一次遅れ系の伝達関数を逆ラプラス変換します。
伝達関数\(G(s)\)は入力と出力の比を表します。
ラプラス変換された入力を\(U(s)\)、出力を\(Y(s)\)と表すと、一次遅れ系の伝達関数は以下のようになります。
$$ \frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{K}{Ts+1} $$
左辺の分母を取り払うために両辺に\(U(s)\)を掛けます。
$$ Y(s)=\frac{K}{Ts+1} \cdot U(s) $$
同じように右辺の分母も取り払います。
そのために、両辺に\(Ts+1\)を掛けます。
$$ Y(s)\cdot (Ts+1)=K\cdot U(s) $$
両辺の分母を取り払うことがてきたら、かつこの中身を展開します。
$$ TY(s)s+Y(s)=KU(s) $$
ここまできたら、両辺を逆ラプラス変換します。
\(U(s)\)と\(R(s)\)の逆ラプラス変換をそれぞれ\(u(t)\)、\(r(t)\)とします。
\(s\)は微分を意味するので、初期値を0として先程の式を逆ラプラス変換をすると以下のようになります。
$$ T\dot{y}(t)+y(t)=Ku(t) $$
これを\(\dot{y}(t)\)について解きます。
$$ \dot{y}(t)=-\frac{1}{T} y(t)+\frac{K}{T} u(t) $$
以上で一次遅れ系の伝達関数の逆ラプラス変換は完了です。
一次遅れ系の微分方程式を解く
さて、伝達関数を逆ラプラス変換して微分方程式を求められたので、この微分方程式を解いてみます。
微分方程式を解いて，先程の図と同じような応答が得られるのかを確認していきます．
ちなみに，先程の図は積分法としてルンゲクッタを使用した場合の数値シミュレーション結果になります．
先程求められた微分方程式は1階の微分方程式でした．
このときの解を以下のように仮定します．
$$y = e^{\lambda t} $$
このようにおいて，先程の微分方程式に代入すると
$$ (\lambda+\frac{1}{T}) e^{\lambda t} = 0 $$
となります．
これを解くと\(\lambda\)は以下のように求められます．
$$ \lambda = -\frac{1}{T} $$
以上のことから，微分方程式の基本解は
$$ y = e^{-\frac{1}{T} t} $$
となり，基本解が一つだけなので一般解を任意定数\(C\)を使って以下のように置きます．
$$ y = Ce^{-\frac{1}{T} t} $$
これに初期値\(y_{(0)}=1\)を代入することで，微分方程式の特殊解を求めることができます．
\begin{eqnarray}
1 &=& Ce^{-\frac{1}{T}\cdot 0}\\
C &=& 1
\end{eqnarray}
$$ y = e^{-\frac{1}{T} t} $$
これをグラフ化すると，先程の図と同じ結果が得られます．
まとめ
この記事では一次遅れ系の伝達関数を逆ラプラス変換する方法を解説しました。
ついでに、求められた微分方程式の解き方も解説しました。
数値シミュレーションをする場合は、ラプラス変換された状態ではできないので解説したように逆ラプラス変換をする必要があります。
そして、求められた微分方程式を適切な積分法で積分をすることでシミュレーションをすることができます。
続けて読む
以下の記事では1次遅れ系の伝達関数で表されるシステムをフィードフォワード制御器で制御する方法を解説しています．興味のある方は続けて参考にしてください．
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それでは最後まで読んでいただきありがとうございました．
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