みなさん，こんにちは
おかしょです．
制御工学において，システムを安定化できるかどうかというのは非常に重要です．
制御器を設計できたとしても，システムを安定化できないのでは意味がありません．
システムが安定となっているかどうかを調べるには，極の位置を求めることでもできますが，ラウス・フルビッツの安定判別を用いても安定かどうかの判別ができます．
この記事では，そのラウス・フルビッツの安定判別について解説していきます．
この記事を読むと以下のようなことがわかる・できるようになります．
- ラウス・フルビッツの安定判別とは何か
- ラウス・フルビッツの安定判別の計算方法
- システムの安定判別の方法
この記事を読む前に
この記事では伝達関数の安定判別を行います．
伝達関数とは何か理解していない方は，以下の記事を先に読んでおくことをおすすめします．
ラウス・フルビッツの安定判別とは
ラウス・フルビッツの安定判別とは，安定判別法の「ラウスの方法」と「フルビッツの方法」の二つの総称になります．
これらの手法はラウスさんとフルビッツさんが提案したものなので，二人の名前がついているのですが，どちらの手法も本質的には同一のものなのでこのようにまとめて呼ばれています．
ラウスの方法の方がわかりやすいと思うので，この記事ではラウスの方法を解説していきます．
この安定判別法の大きな特徴は伝達関数の極を求めなくてもシステムの安定判別ができることです．
つまり，高次なシステムに対しては非常に有効な手法です．
$$ G(s)=\frac{2}{s+2} $$
例えば，左のような伝達関数の場合は極（s=-2）を簡単に求めることができ，安定だということができます．
$$ G(s)=\frac{1}{s^5+2s^4+3s^3+4s^2+5s+6} $$
しかし，左のように特性方程式が高次な場合は因数分解が困難なので極の位置を求めるのは難しいです．
ラウス・フルビッツの安定判別はこのような高次のシステムで極を求めるのが困難なときに有効な安定判別法です．
ラウス・フルビッツの安定判別の条件
例えば，以下のような4次の特性多項式を持つシステムがあったとします．
$$ D(s) =a_4 s^4 +a_3 s^3 +a_2 s^2 +a_1 s^1 +a_0 $$
この特性方程式を解くと，極の位置が\(-p_1 ,\ -p_2 ,\ -p_3 ,\ -p_4\)と求められたとします．このとき，上記の特性方程式は以下のように書くことができます．
$$ D(s) = a_4 (s+p_1)(s+p_2)(s+p_3)(s+p_4) $$
これを展開してみます．
\begin{eqnarray}
D(s) &=& a_4 \left\{s^4 +(p_1+p_2+p_3+p_4)s^3+(p_1 p_2+p_1 p_3+p_1 p_4 + p_2 p_3 + p_2 p_4 + p_3 p_4)s^2+(p_1 p_2 p_3+p_1 p_2 p_4+ p_2 p_3 p_4)s+ p_1 p_2 p_3 p_4 \right\} \\
&=& a_4 s^4 +a_4(p_1+p_2+p_3+p_4)s^3+a_4(p_1 p_2+p_1 p_3+p_1 p_4 + p_2 p_3 + p_2 p_4 + p_3 p_4)s^2+a_4(p_1 p_2 p_3+p_1 p_2 p_4+ p_2 p_3 p_4)s+a_4 p_1 p_2 p_3 p_4 \\
\end{eqnarray}
ここで，システムが安定であるには極（\(-p_1 ,\ -p_2 ,\ -p_3 ,\ -p_4\)）がすべて正でなければなりません．
システムが安定であるとき，最初の特性方程式と上の式を係数比較すると，係数はすべて同符号でなければ成り立たないことがわかります．
例えば\(s^3\)の項を見ると，最初の特性方程式の係数は\(a_3\)となっています．
それに対して，極の位置から求めた特性方程式の係数は\(a_4(p_1+p_2+p_3+p_4)\)となっています．
システムが安定であるときは\(-p_1 ,\ -p_2 ,\ -p_3 ,\ -p_4\)がすべて正であるので，\(p_1+p_2+p_3+p_4\)も正になります．
従って，\(a_4\)が正であれば\(a_3\)も正，\(a_4\)が負であれば\(a_3\)も負となるので同符号ということになります．
他の項についても同様のことが言えるので，特性方程式の係数はすべて同符号であると言うことができます．0であることもありません．
参考書によっては，特性方程式の係数はすべて正であることが条件であると書かれているものもありますが，すべての係数が負であっても特性方程式の両辺に-1を掛ければいいだけなので，言っていることは同じです．
ラウス・フルビッツの安定判別のやり方
安定判別のやり方は，以下の2ステップですることができます．
- ラウス表を作る
- ラウス表から符号の変わる回数を調べる
ラウス表を作る
最初にラウス表，もしくはラウス数列と呼ばれるものを作ります．
上の例で使用していた4次の特性方程式を用いてラウス表を作ると，以下のようになります．
\begin{array}{c|c|c|c}
\hline
s^4 & a_4 & a_2 & a_0 \\
\hline
s^3 & a_3 & a_1 & 0 \\
\hline
s^2 & b_1 & b_0 & 0 \\
\hline
s^1 & c_0 & 0 & 0 \\
\hline
s^0 & d_0 & 0 & 0 \\
\hline
\end{array}
上の2行には特性方程式の係数をいれます．
そして，3行目以降はこの係数を利用して求められた数値をいれます．
例えば，3行1列に入れる\(b_1\)に入れる数値は以下のようにして求めます．
\begin{eqnarray}
b_1 = \frac{
\begin{vmatrix}
a_4 & a_2 \\
a_3 & a_1
\end{vmatrix}
}{-a_3}
\end{eqnarray}
まず，分子には上の2行の4つの要素を入れて行列式を求めます．
分母には真上の\(a_3\)に-1を掛けたものをいれます．
この計算をして求められた数値を\)b_1\)に入れます．
他の要素についても同様の計算をすればいいのですが，2列目以降の数値については少し違います．
今回の4次の特性方程式を例にした場合は，2列目の要素が\(s^2\)の行の\(b_0\)のみなのでそれを例にします．
\(b_0\)は以下のようにして求めることができます．
\begin{eqnarray}
b_0 = \frac{
\begin{vmatrix}
a_4 & a_0 \\
a_3 & 0
\end{vmatrix}
}{-a_3}
\end{eqnarray}
これを見ると分かるように，分子の行列式の1列目は\(b_1\)の時と同じで固定されています．
しかし，2列目に関しては\(b_1\)の時とは1列ずれた要素を入れて求めています．
また，分子に関しては\(b_1\)の時と同様です．
このように，列がずれた要素を求めるときは分子の行列式の2列目の要素のみを変更することで求めることができます．
このようにしてラウス表を作ることができます．
ラウス表から符号の変わる回数を調べる
先程作成したラウス表を使ってシステムの安定判別を行います．
ラウス表を作ることができれば，あとは簡単に安定判別をすることができます．
見るべきところはラウス表の1列目のみです．
上のラウス表で言うと，\(a_4,\ a_3,\ b_1,\ c_0,\ d_0\)です．
これらの要素を上から順番に見た時に，符号が変化する回数がシステムを不安定化させる極の数と一致します．
これについては以下の具体例を用いて説明します．
ラウス・フルビッツの安定判別の演習
ここからは，いくつかの演習問題をとおしてラウス・フルビッツの安定判別の計算の仕方を練習していきます．
演習問題1
まずは簡単な2次のシステムの安定判別を行います．
\begin{eqnarray}
D(s) &=& a_2 s^2+a_1 s+a_0 \\
&=& s^2+5s+6
\end{eqnarray}
これを因数分解すると
\begin{eqnarray}
D(s) &=& s^2+5s+6\\
&=& (s+2)(s+3)
\end{eqnarray}
となるので，極は\(-2,\ -3\)となるので複素平面の左半平面に極が存在することになり，システムは安定であると言えます．
これをラウス・フルビッツの安定判別で調べてみます．
ラウス表を作ると以下のようになります．
\begin{array}{c|c|c}
\hline
s^2 & a_2 & a_0 \\
\hline
s^1 & a_1 & 0 \\
\hline
s^0 & b_0 & 0 \\
\hline
\end{array}
\begin{eqnarray}
b_0 &=& \frac{
\begin{vmatrix}
a_2 & a_0 \\
a_1 & 0
\end{vmatrix}
}{-a_1} \\
&=& \frac{
\begin{vmatrix}
1 & 6 \\
5 & 0
\end{vmatrix}
}{-5} \\
&=& 6
\end{eqnarray}
このようにしてラウス表ができたら，1列目の符号の変化を見てみます．
1列目を上から見ると，1→5→6となっていて符号の変化はありません．
つまり，このシステムを不安定化させる極は存在しないということが言えます．
先程の極位置から調べた安定判別結果と一致することが確認できました．
演習問題2
以下のような特性方程式を有するシステムの安定判別を行います．
\begin{eqnarray}
D(s) &=& a_5 s^5+a_4 s^4+a_3 s^3+a_2 s^2+a_1 s+a_0 \\
&=& s^5+2s^4+3s^3+4s^2+5s+6
\end{eqnarray}
ラウス表を作ると以下のようになります．
\begin{array}{c|c|c|c|c}
\hline
s^5 & a_5 & a_3 & a_1 & 0 \\
\hline
s^4 & a_4 & a_2 & a_0 & 0 \\
\hline
s^3 & b_2 & b_1 & b_0 & 0\\
\hline
s^2 & c_1 & c_0 & 0 & 0 \\
\hline
s^1 & d_0 & 0 & 0 & 0 \\
\hline
s^0 & e_0 & 0 & 0 & 0 \\
\hline
\end{array}
\begin{eqnarray}
b_2 &=& \frac{
\begin{vmatrix}
a_5 & a_3 \\
a_4 & a_2
\end{vmatrix}
}{-a_4} \\
&=& \frac{
\begin{vmatrix}
1 & 3 \\
2 & 4
\end{vmatrix}
}{-2} \\
&=& 1
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
b_1 &=& \frac{
\begin{vmatrix}
a_5 & a_1 \\
a_4 & a_0
\end{vmatrix}
}{-a_4} \\
&=& \frac{
\begin{vmatrix}
1 & 5 \\
2 & 6
\end{vmatrix}
}{-2} \\
&=& 2
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
b_0 &=& \frac{
\begin{vmatrix}
a_5 & 0 \\
a_4 & 0
\end{vmatrix}
}{-a_4} \\
&=& \frac{
\begin{vmatrix}
1 & 0 \\
2 & 0
\end{vmatrix}
}{-2} \\
&=& 0
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
c_1 &=& \frac{
\begin{vmatrix}
a_4 & a_2 \\
b_2 & b_1
\end{vmatrix}
}{-b_2} \\
&=& \frac{
\begin{vmatrix}
2 & 4\\
1 & 2
\end{vmatrix}
}{-1} \\
&=& 0
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
c_0 &=& \frac{
\begin{vmatrix}
a_4 & a_0 \\
b_2 & b_0
\end{vmatrix}
}{-b_2} \\
&=& \frac{
\begin{vmatrix}
2 & 6\\
1 & 0
\end{vmatrix}
}{-1} \\
&=& 6
\end{eqnarray}
ここで，問題が発生しました．\(c_1\)の値が0となってしまったため，次の行の計算をする際に分母が0となってしまいます．
これでは計算ができないので，\(c_1\)を微小な値\(\epsilon\)として計算を続けます．
\begin{eqnarray}
d_0 &=& \frac{
\begin{vmatrix}
b_2 & b_1 \\
c_1 & c_0
\end{vmatrix}
}{-c_1} \\
&=& \frac{
\begin{vmatrix}
1 & 2\\
\epsilon & 6
\end{vmatrix}
}{-\epsilon} \\
&=&\frac{2\epsilon-6}{\epsilon}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
e_0 &=& \frac{
\begin{vmatrix}
c_1 & c_0 \\
d_0 & 0
\end{vmatrix}
}{-d_0} \\
&=& \frac{
\begin{vmatrix}
\epsilon & 6 \\
\frac{2\epsilon-6}{\epsilon} & 0
\end{vmatrix}
}{-\frac{2\epsilon-6}{\epsilon}} \\
&=&6
\end{eqnarray}
この結果をラウス表に書き込んでいくと以下のようになります．
\begin{array}{c|c|c|c|c}
\hline
s^5 & 1 & 3 & 5 & 0 \\
\hline
s^4 & 2 & 4 & 6 & 0 \\
\hline
s^3 & 1 & 2 & 0 & 0\\
\hline
s^2 & \epsilon & 6 & 0 & 0 \\
\hline
s^1 & \frac{2\epsilon-6}{\epsilon} & 0 & 0 & 0 \\
\hline
s^0 & 6 & 0 & 0 & 0 \\
\hline
\end{array}
このようにしてラウス表を作ることができたら，1列目の数値の符号の変化を見ていきます．
しかし，今回は途中で0となってしまった要素があったので\(epsilon\)があります．
この\(\epsilon\)はすごく微小な値で，正の値か負の値かわかりません．
そこで，\(\epsilon\)が正の時と負の時の両方の場合を考えます．
\begin{array}{c|c|c|c}
\ &\ & \epsilon>0 & \epsilon<0\\
\hline
s^5 & 1 & + & + \\
\hline
s^4 & 2 & + & + \\
\hline
s^3 & 1 &+ & + \\
\hline
s^2 & \epsilon & + & – \\
\hline
s^1 & \frac{2\epsilon-6}{\epsilon} & – & + \\
\hline
s^0 & 6 & + & + \\
\hline
\end{array}
上の表を見ると，\(\epsilon\)が正の時は\(s^2\)から\(s^1\)と\(s^1\)から\(s^0\)の時の2回符号が変化しています．
\(\epsilon\)が負の時は\(s^3\)から\(s^2\)と\(s^2\)から\(s^1\)の時の2回符号が変化しています．
どちらの場合も2回符号が変化しているので，システムを不安定化させる極が二つあるということがわかりました．
演習問題3
以下のような特性方程式をもつシステムの安定判別を行います．
\begin{eqnarray}
D(s) &=& a_3 s^3+a_2 s^2+a_1 s+a_0 \\
&=& s^3+2s^2+s+2
\end{eqnarray}
このシステムのラウス表を作ると以下のようになります．
\begin{array}{c|c|c|c}
\hline
s^3 & a_3 & a_1& 0 \\
\hline
s^2 & a_2 & a_0 & 0 \\
\hline
s^1 & b_0 & 0 & 0\\
\hline
s^0 & c_0 & 0 & 0 \\
\hline
\end{array}
\begin{eqnarray}
b_0 &=& \frac{
\begin{vmatrix}
a_3 & a_1 \\
a_2 & a_0
\end{vmatrix}
}{-a_2} \\
&=& \frac{
\begin{vmatrix}
1 & 1 \\
2 & 2
\end{vmatrix}
}{-2} \\
&=& 0
\end{eqnarray}
またも問題が発生しました．
今度も0となってしまったので，先程と同じように\(\epsilon\)と置きたいのですが，この行の次の列も0となっています．
このように1行すべてが0となった時は，システムの極の中に実軸に対して対称，もしくは虚軸に対して対象となる極が1組あることを意味します．
つまり，極の中に実軸上にあるものが一組ある，もしくは虚軸上にあるものが一組あるということです．
虚軸上にある場合はシステムを不安定にするような極ではないので，そのような極は安定判別には関係ありません．
しかし，実軸上にある場合は虚軸に対して対称な極が一組あるので，システムを不安定化する極が必ず存在することになるので，対称極がどちらの軸上にあるのかを調べる必要があります．
このとき，注目すべきは0となった行の一つ上の行です．
この一つ上の行を使って以下のような方程式を立てます．
$$ 2s^2+2 = 0 $$
この方程式を補助方程式と言います．これを整理すると
$$ s^2+1 = 0 $$
この式はもともとの特性方程式を割り切ることができます．
システムの特性方程式を補助方程式で割ると解はs+2となります．
つまり最初の特性方程式は以下のように因数分解ができます．
\begin{eqnarray}
D(s) &=&s^3+2s^2+s+2\\
&=& (s^2+1)(s+2)
\end{eqnarray}
ここまで因数分解ができたら，極の位置を求めることができ，このシステムには不安定極がないので安定であるということができます．
まとめ
この記事ではラウス・フルビッツの安定判別について解説をしました．
この判別方法を使えば，高次なシステムで極を求めるのが困難なときでも安定かどうかの判別が行えます．
先程の演習問題3のように1行のすべての要素が0になってしまって，補助方程式で割ってもシステムが高次のままな場合は，割った後のシステムに対してラウス・フルビッツの安定判別を行えばいいので，そのような問題に会った場合は試してみてください．
続けて読む
この記事では極を求めずに安定判別を行いましたが，極には安定判別をする以外にもさまざまな役割があります．
以下では極について解説しているので，参考にしてください．
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それでは，最後まで読んでいただきありがとうございました．
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