みなさん，こんにちは
おかしょです．
このブログでは制御工学の解説を行っているのですが，カルマンフィルタを理解するうえで必要な確率統計学についても解説をしています．
今回は確率密度関数について解説したいと思います．
カルマンフィルタの参考書などを読むと，確率密度関数とは何なのか説明もないまま進んでいくものがあります．
いや，確率密度関数ってなんだよ！？と私は思い，困った経験があるのでこの記事を作成することにしました．
この記事を読むと以下のようなことがわかる・できるようになります．
- 確率密度関数とは
- 確率密度関数の性質
この記事を読む前に
確率密度関数は以下の記事で解説している確率変数と密接に関係しています．
確率変数について知らない方は以下の記事を先に読んでおくことをおすすめします．
確率密度関数とは
結論から言うと，確率密度関数というのは横軸に確率変数，縦軸に確率をとった関数のことを言います．
ある確率変数に対して，度数分布表が与えられていればヒストグラムを作ることができます．
ヒストグラムとは確率変数を横軸，度数を縦軸にとったグラフのことです．
このヒストグラムの面積が1になるように正規化します．
そして，最後にヒストグラムを滑らかにすることで確率密度関数が求められます．
途中で度数の合計が1になるように正規化するので，確率密度関数と呼ばれます．
これだけではわかった方は，この記事でお伝えしたいことは以上になるのでこれ以降は読んでも意味はないと思います．
これだけではわからない方もいると思うので，以下では具体例を交えて解説していきます．
ヒストグラムを作る
まずは，ヒストグラムを作ります．
以前「度数分布表とは・書き方などを数学が苦手でもわかるように解説」でも使用した50人の生徒に対して数学のテストを行った結果を使用します．
この表を基にヒストグラムを作っていきます．
ヒストグラムを作るには度数分布表が必要です．度数分布表は先ほどの記事で作っているので，それをそのまま使用します．度数分布表の作り方を知りたい方はこちらを参照してください．
これを基にヒストグラムを作ると以下のようになります．
ヒストグラムの面積を正規化する
ヒストグラムを作れたら，ヒストグラムの全面積を1になるように正規化します．
そのためにヒストグラムの面積を最初に求めておきます．
上のヒストグラムの面積Sは以下のようにして求められます．
$$ S = 12\times 10+16\times 10+9\times 10+9\times 10+4\times 10 = 500 $$
今回は点数の刻みを10点としているので，各範囲の度数に10を掛けて総和を求めることで面積を求められます．
この全面積を1に正規化するには各範囲の度数を面積Sで割ります．
その結果，ヒストグラムの形は変わりませんが縦軸の目盛りがこのように変わります．
ヒストグラムを滑らかにする
最後にヒストグラムを滑らかな曲線で結びます．
ヒストグラムを滑らかにするには，データの数を∞に増やしてデータの刻み幅を微小にする必要があります．
このようにすることで，ヒストグラムは先ほどのような棒グラフではなく以下のような滑らかな曲線で表されることになります．
このようにして描かれた曲線を確立密度関数と言います．
確率密度関数の性質
出来上がった確率密度関数の性質について説明します．
確率密度関数を描く途中でヒストグラムの面積の総和が1になるように正規化をしていました．
そのため，確率密度関数\(f(x)\)の面積の総和も1になるという性質があります．
$$ \displaystyle \int_{-\infty}^{ \infty } f(x) dx = 1 $$
また，確率変数の範囲\(a\leq x\leq b\)を指定して面積を求めると，それらの値が生じる確率\(P(x)\)を求めることができます．
$$ P(x) = \displaystyle \int_{a}^{ b } f(x) dx $$
確率密度関数は確率変数の確率を表す関数なので必ず正となります．
$$ f(x) \geq 0 $$
まとめ
この記事では確率密度関数とはどのようなものなのかを解説しました．
確率密度関数というのは確率変数を微小な刻み幅で区切って，縦軸に確率をとった曲戦のことをいい，その関数の面積は必ず1になるという性質を持っています．
確率密度関数の性質については，カルマンフィルタを理解する上で必要になるので必ず覚えておきましょう．
続けて読む
今回解説した確率密度関数はカルマンフィルタの理論を理解するうえで重要な役割を持つのですが，以下の記事で解説している確率変数の独立性も重要です．
カルマンフィルタについて学習中の方は以下の記事もあわせて参考にしてください．
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それでは最後まで読んでいただきありがとうございました．
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